BAB
6 FUNGSI
Fungsi
merupakan kejadian husus dari relasi.
Definisi
Misalkan A dan B adalah
Himpunan . Relasi biner f dari A ke B disebut suatu fungsi jika untuk setiap
elemen a didalam A terdapat satu
elemen tunggal b didalam B sedemikian hingga
(a,b) Є f. ditulis f(a)=b. Jika f adalah fungsi dari A ke B ,
ditulis f: A®B
yang artinya f memetakan A ke B.
-
Jika
f adalah fungsi dari A ke B , A disebut daerah asal (domain) dari f, dan B
disebut daerah hasil (kodomain/range) dari
f
-
Jika
f(a)=b , maka a dinamakan prabayangan dari b,
b dinamakan bayangan dari a
|
 |
contoh
1. Diketahui
f={(1,u), (2,v), (3,w)} dari A={1,2,3}
ke B={u, v, w}
2. Diketahui
f={(1,u), (2,v), (3,w)} dari A={1,2,3,
4} ke B={u, v, w}
3. Diketahui
f={(1,u), (1,v),(2,v), (3,w)} dari A={1,2,3,
4} ke B={u, v, w}
4. Diketahui
f={(1,u), (2,u), (3,v)} dari A={1,2,3,
4} ke B={u, v, w}
Tentukan
apakah f merupakan fungsi
Jawab
1. f adalah fungsi dari A ke B, karena daerah
asal f adalah A dan daerah hasil B
2. f adalah bukan fungsi dari A ke B, karena
daerah asal f adalah {1,2,3} tidak sama dengan A
3. f adalah bukan fungsi dari A ke B, karena 1 dalam A dipetakan ke dua buah elemen dalam
B
4. f adalah
fungsi dari A ke B , meskipun u didalam B merupakan bayangan dari dua elemen
dalam A.
Fungsi
Injektif (satu-satu), surjektif (pada/onto), bijektif (berkoresponden
sau-satu)
A.
Fungsi f disebut injektif jika tidak ada dua elemen dari himpunan A yang
memiliki bayangan yang
Sama. Dengan
kata lain , jika a dan b anggota dari himpunan A, maka f(a)¹f(b)
Gambar fungsi satu-satu
Contoh
1. Diketahui
f={(1,w), (2,u), (3,v)} dari A={1,2,3}
ke B={u, v, w,x}. tentukan apakah fungsi
satu-satu?
2. Diketahui
f={(1,w), (2,u), (3,v)} dari A={1,2,3}
ke B={u, v, w}. tentukan apakah fungsi
satu-satu?
3.Diketahui
f={(1,u), (2,u), (3,v)} dari A={1,2,3}
ke B={u, v, w}. tentukan apakah fungsi
satu-satu?
Jawab
1. f adalah
fungsi satu-satu
2. f adalah fungsi
satu-satu
3. f adalah
bukan fungsi satu-satu karena
f(1)=f(2)=u
B. Fungsi f
disebut surjektif (pada/onto) , jika setiap
elemen himpunan B merupakan bayangan dari
Satu atau lebih
dari elemen himpunan A. Dengan kata lain fungsi f adalah surjektif
Bila semua elemen
B merupakan daerah hasil dari f
A
B
Contoh
1.Diketahui
f={(1,u), (2,u), (3,v)} dari A={1,2,3}
ke B={u, v, w}. apakah f fungsi
surjektif/pada?
2. Diketahui
f={(1,w), (2,u), (3,v)} dari A={1,2,3}
ke B={u, v, w}. apakah f fungsi surjektif?
Jawab
1. f adalah bukan fungsi surjektif karena w
tidak ada dalam daerah hasil
2. f adalah fungsi surjektif.
C. Fungsi
disebut bijektif(berkoresponden
satu-satu), jika fungsinya injektif dan surjektif
Contoh
Diketahui
f={(1,u), (2,v), (3,w)} dari A={1,2,3} ke
B={u, v, w}
Jawab
F adalah
fungsi bijektif karena f tersebut injektif (satu-satu)dan surjektif (pada).
Fungsi Invers
Misalkan f: A
®B adalah suatu fungsi , jika f
fungsi bijektif (korespodensi satu-satu) , maka dapat menemukan inversnya dari f yang dilambangkan
dengan notasi f-1. Misalkan a
dalah elemen dari himpunan A dan b adalah elemen dari himpunan B, maka f-1(b)= a jika f(a)= b
Contoh
Diketahui
f={(1,u), (2,v), (3,w)} dari A={1,2,3}
ke B={u, v, w}. Tentukan f-1
Jawab
f-1 ={(u, 1), (v, 2), (w, 3)}
contoh
diketahui f:
A ®A dengan f(a)=a+2
.Tentukan f-1
jawab
b=f(a) = a+2
a= b-2
f-1(b)= a = b-2, selanjutnya
variabelnya ditukar sehingga didapat f-1(a)=a-2
Fungsi Komposisi
Jika ada beberapa fungsi , fungsi-fungsi tersebut bisa
dikomposisikan untuk menghasilkan fungsi yang baru. Misalakan g adalah fugnsi
dari himpunan A ke himpunan B , dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan
C . Komposisi f dan g, dinotasikan dengan ( f0 g ) adalah fungsi dari
A ke C yang didefinisikan oleh
(fog)(a)=
f(g(a))
A B C
g
f |
|||
 |
|||
f0g
gambar fungsi komposisi
contoh
Diberikan
fungsi g= {(1, u), (2, u), (3, v)} yang
memetakan dari A={1, 2, 3} ke B={ u, v ,
w}
Dan
fungsi f ={(u, y), (v, x), (w, z)} yang
memetakan dari B={ u, v , w} ke C ={ x,
y, z}
Tentuka
fungsi (f0g)
Jawab
(f0g)
= {(1, y), (2, y), (3, x)}
Contoh 2
Diketahui fungsi
g(x)=x+1 dan f(x)= x2
a. tentukan (f0g)(x) b. tentukan (f0f)(x) c. tentukan apakah (f0g)(x) = (g0f)(x)
jawab
a) (f0g)(x) = f(g(x))= f(x+1)2
b) (f0f)(x) =f(f(x))= f(x+1)= (x+1) + 1 = x+2
c) (g0f)(x) = g(f(x))=g(x2)= x2+1
terlihat bahwa (f0g)(x) ¹ (g0f)(x)
Latihan
Soalinjektif
dan invers belum
1. Diketahui
diagram panah berikut;
a) b) |
||||||
 |
||||||
 |
||||||
 |
||||||
 |
||||||
c) d) |
||||||
 |
||||||
 |
||||||
 |
||||||
Tentukan
apakah diagram tersebut fungsi atau bukan, kalau bukan jelaskan.
2. Misalkan A={1,3,5} dan B= {s, t, u, v} dan diketahui fungsi f: A ® B yang dinyatakan dengan
Diagram berikut;
A B |
a) Tentukan
daerah asal dan kodomain f
b) carilah
f(1), f(3), dan f(5) c) tentukan
range(daerah hasil) f
3.
Misalkan A={1, 5, 9} dan B= {3, 4, 7}
a)
Diketahui f: A ® B dengan f(1)=4,
f(5)= 7 dan f(9)= 4 . Apakah
injektif, surjektif, bijektif ?
b)
Diketahui g: A ® B dengan g(1)=7, g(5)=3 dan g(9)= 4. Apakah injektif,
surjektif, bijektif ?
4. Misalkan A
adalah himpunan asli, diketahui f: (AXA) ® A yang didefinisikan f(x,y)= x+y
Apakah fungsi f injektif ?
5. Misalkan f
adalah fungsi dari A={0, 1, 2, 3, 4, 5} ke A yang didefinisikan oleh f(x)=4x
mod 6. Tentukan f sebagai himpunan
pasangan terurut. Apakah f satu-satu
6. Untuk
semua bilangan riil a, didefinisikan f dan g yaitu f(a)=a3 , g(a)=a
– 1
Carilah
f0g dan g0f
7. Diberikan
fungsi g= {(1, b), (2, c), (3, a)} yang
memetakan dari A={1, 2, 3} ke B={ a, b
,c, d}
Dan
fungsi f ={(a,x), (b,x), (c, z),(d, w)}
yang memetakan dari B={ a, b , c, d} ke
C ={ w,x, y, z}
Tentuka
fungsi (f0g)sebagai himpunan
pasangan berurutan.
8. Fungsi f:
R ® R didefinisikan f(x) = x3-2
. apakah fungsi tersebut mempunyai invers ?
9.
Diketahui A={a, b, c}, B={x, y, z}.
Didefinisikan f:A®B, dan g: B®C dengan diagram panah berikut
A B C |
 |
|||
 |
||||
Carilah
: g0f , : ( g0f)-1 , g-1; f-1, dan (f-10g-1).
Apakah relasi antara : ( g0f)-1 dengan (f-10g-1).
