KOMBINATORIKA

BAB 3 KOMBINATORIKA

Dasar-dasar Perhitungan

1 ) Aturan Penjumlahan

          Misal himpunan A adl gabungan dari himpunan-himpunan bagian yang tidak kosong dan saling asing maka jumlah elemen  himpunan A sama dengan jumlah anggota semua himpunan bagian

Contoh

Dalam suatu kartu bridge lengkap berapa cara untuk mengambil

a) Sebuah kartu jantung atau sebuah daun

          Jawab :

          Kartu jantung dan kartu daun merupakan himpunan yang saling asing maka untuk mendapatkan salah satunya adalah JUMLAH cara pada masing-masing bagian(jantung dan daun), untuk mendpat satu kartu jantung adalah 13 cara (karena kartu jantung ada 13 buah), untuk mendapat kartu daun adalah 13 cara(karena kartu daun 13 buah ) jadi untuk mendapat satu kartu jantung atau satu kartu daun adalah 13+13=26 cara

b) Sebuah kartu  jantung atau as

Jawab :

 ingat  jumalah kartu jantung 13 sudah termasuk as

Kartu as semua 4 buah (ada 3 kartu as selan jantung) maka banyak cara sebuah kartu jantung atau as adalah 13+3=16

Contoh 2

Misal dua dadu berbeda warna (merah dan putih) dilempar ada berapa macam cara untuk mendapatkan jumlah angka 4 atau 8.

Jawab :

Bentuk elemen (merah, putih)

Untuk mendapat jumlah 4 adalah 3 cara yaitu (1,3); (2,2); (3,1)

Untuk mendapat jumlah  8 adalah 5 cara yaitu........

Jadi untuk mendapat jumlah 4 atau 8 adalah 3+5=8 cara

Contoh 3

Misal dua dadu warna sama dilempar ada berapa macam cara untuk mendapatkan jumlah angka 4 atau 8.

Jawab :

karena warna sama maka elemen  (1,3) dg (3,1) dianggap satu elemen

Begitu juga elemen (2,6) dg (6,2) dan (3,5) dg (5,3) jadi kemungkinannya tinggal 5 cara

2)  Aturan Perkalian

Misal suatu pekerjaan melibatkan k buah langkah dimana

Langkah  ke-1 ada n₁ cara  (cara ke1,cara ke2, ..... Cara ke n₁ )

Langkah  ke-2 ada n₂ cara  (carake1,cara ke2, ..... Cara ke n₂ )

Langkah  ke-3 ada n₃ cara (carake1,cara ke2, ..... Cara ke  n₃ )

.........................................

Langkah  ke-k ada n_k cara (cara ke1,cara ke2, ..... Cara ke n_k ).

Dg demikain semua pekerjaan adalah sebanyak (n₁ )(n₂ )... (n_k ) cara

(untuk membayangkan bentuk elemennya,  ingat perkaian kartesian jika ada k-terorder identik dg titik pada R^k/ruang demensi k )

Contoh 1

Jika dua buah dadu berbeda dilontarkan ada berapa banyak cara angka yang muncul ?bagaimana jika 5 dadu, bagaimna jika n dadu ?

 jawab adl  (6)(6)= 6² cara; untuk 5 dadu adl 6⁵; untuk n dadu adalah 6ⁿ cara

Contoh 2

Misalkan barang-barang disuatu pabrik diberi nomer kode yang terdiri dari  3 huruf dan 4 angka (misal BUD1234)

a)Jika baik huruf maupun angka boleh diulang penggunaannya ada berapa macam barang yg dat diberi kode yg berbeda?

b)Jika huruf saja yg dapat diulang

 jawab

a)Jumlah huruf 26 dan jumlah angka 10, maka kode yg terdiri dari 3 huruf adalah 26³cara ,sedang kode yg terdiri dari 4 angka adl (10)⁴cara, maka banyak kode dg kombinasi 3 huruf dan 4 angka adl (26)³(10)⁴cara.=   ........ cara

b) kode yg terdiri dari 3 huruf adalah 26³cara

    kode yg terdiri dari 4 angka adalah (10)(9)(8)(7) cara

Maka banyak kode dengan  3 huruf dan 4 angka adalah (26)³(10)(9)(8)(7) cara

 Contoh 3
berapa banyak bilangan yg terdiri dari 2digit atau 3 digit yang dapat dibentuk menggunakan angka-angka 1,2,3,4,5,6,7 jika perulangan tidak  diperbolehkan.

Jawab

Banyak bilangan dari 2 digit adalah (7)(6) cara= 42 cara

Banyak bilangan dari 3 digit adalah (7)(6)(5) cara = 210 cara

Maka banyak bilangan terdiri dari 2 digit atau 3 digit adalah

 (7)(6)+ (7)(6)(5) cara

KOMBINASI DAN PERMUTASI

Untuk perhitungan bagian ini yang perlu dipahami yaitu tentang Faktorial

Definisi

Besaran n faktorial (degan simbul n!)adalah sebagai hasil kali semua bilangan bulat antara 1 hingga n

Catatan

Untuk n=0 didefinisikan husus yaitu 0!=1

 selanjutnya  untuk bilangan bulat yang lain didapat sbb n!=1.2.3.......(n-1).n

Dari definisi faktorial didapat persamaan sbb   n!= n(n-1)! (buktikan)

=                                                sehingga didapat n!=  n(n-1)!

Kombinasi ( hal yang diperhatikan obyek-obyek yg muncul)

Misal himpunan S memiliki n elemen

Ada  himpunan bagian S memiliki r elemen dimana r≤n disebut kombinasi n obyek yang diambil sebanyak r obyek sekaligus, simbulnya adalah

n! r! (n-r)!

n   r

                        atau ditulis C(n,r)

Banyaknya kombinasi yg dimaksud adl                   = 

Catatan: urutan tidak diperhatikan maksudnya adalah elemen bentuk ab dengan elemen bentuk ba dianggap satu elemen(dianggap sama)

Contoh
seorang pelatih basket  akan memilh komposisi pemain yg akan diturunkan dlm pertandingan , ada 12 orang pemain yg dapat dipilih. Berapa macam tim yg dapat dibentuk?

Jawab jumlah pemain basket dalam suatu tim ada 5 orang

Banyak tim yg dapat dibentuk adl

                                                                     =                 =                         =  792

Contoh 2

Suatu perusahaan memiliki 5 karyawan laki-laki dan 7 karyawan wanita , lalu akan dipilih 5 orang untuk mengerjakan suatu proyak, ada berapa tim yg dapat dibentuk apabila dalam tim tersebut harus

a)Terdiri dari 3 karyawan laki dan 2 karyawan wanita

Jawab

Untuk laki-laki adl C(5,3))=               = 10

Untuk wanita adl C(7,2) =                       =21

Jadi unt milih tim terdiri 3 laki dan 2 wanita adl  ,                               =210  cara

 b) Terdiri dari paling sedikit terdapat 1 karyawan laki

jawab                                                                

Kasus ini ada 5  tim(setiap tim ada beberapa cara)

tim satu 1 laki dan 4 wanita banyak cara adl

                                                                            5         7

                                                                            1         4     cara=175

Tim dua 2 laki dan 3 wanita banyak cara adl

                                                                             5         7

                                                                             2         3    cara=350

Tim tiga 3 laki dan 2 wanita banyak cara adl

                                                                              5        7

                                                                              3        2      cara=210

Tim empat 4 laki dan 1 wanita banyak cara adl

                                                                               5        7

                                                                               4        1    cara=35

Tim lima 5 laki dan 0 wanita banyak cara adl         5      7

                                                                                 5      0     cara=1

Jadi cara memilih paling sedikit 1karyawan laki adl semua cara dijumlah=771

Permutasi (urutan diperhatikan artinya elemen ab beda dg elemen ba)
                    pengulangan elemen tidak diperbolehkanartinnya tdk bisa dplih lagi

Misalkan dalam kelas terdiri dari 30 mahasiswa coba perhatikan 2 kasus berikut; yaitu a) diambil 2 mahasiswa ada berapa cara

         b) diambil  1 mahasiswa sbg ketua dan 1 mahasiswa lagi sebagai bendahara

Terlihat kasus ponit b) adalah permutasi karena ab dg ba adl beda sedangkan kasus a) terlihat ab dengan ba adalah sama (dihitung satu elemen )

Perhatikan gambar tentang 4 elemen diambil 2 elemen berikut;

{a,b,c,d}      { a,b}             a,b

                                           b,a

                    { a,c}              a,c

                                            c,a

                    {a,d}

                    {b,c}

                    { b,d}

                    {c,d }                         dstnya ,dari sini didapat rumus

n! (n-r)!

Rumus cecara umum untuk r obyek yg diambil dari n obyek adalah
          
           P(n,r) =                        jika n=r disebut permutasi n obyek  P(n,n)=n!

Contoh

Suatu undian dilakukan dg menggunakan angka yg terdidi dari 7 digit , jika digit digit dalam suatu angka diharuskan berbeda satu dg yang lain , ada berapa kemungkinan nomer undiannya?

Jawab

Dalam undian tsb jelas urutan angka diperhatikan (dihitung), maka banyaknya undian adlah

n! (n-r)!

                        

   P(10, 7) =                             =10.9.8.7.6.5.4=604800 macam kmungkin

Contoh 2

Sebuah grup terdiri dari 7 wanita dan 3 pria . Ada berapa macam cara berbaris yg mungkin dibuat jika 3 pria tersebut selalu kumpul/bersebelahan

Jawab dalam hal ini ada dualangkah penyelesaiannya

Langkah 1 adalah permutasi dari 3 obyek adalah P(3,3)=3!=3.2.1=6

Langkah 2 adl permutasi dari 8 obyek P(8,8)=8!=40320

Jadi macamnya grup laki dan wanita adalah (6)(40320)=241920 macam

Rumus permutasi untuk susunan melingkar dengan n obyek yang beda adalah P(n,n)=(n-1)!
Berkurang karena posisi obyek yang pertama yang ditempatkan tidak begitu penting (yang dipentingkan kedudukan setiap obyek relatif dengan obyek yang lain

Kombinasi dan permutasi dengan elemen berulang(elemen nya sama/elemen ada yang lebih dari satu

Jika suatu himpunan terdiri dari n obyek tersusun dari

Jenis 1 sebanyak n1

Jenis 2 sebanyak n2

…………………….

Jenis k sebanyak n_k , dimana n1+n2+…..+n_k=n

Menggunakan rumus

       

        P(n,n1,n2,….n_k)=                       ...                            =

contoh

Tentukan banyaknya macam cara untuk menyusun huruf-huruf dalam kata MISSISSIPPI

Jawab n=11, jenis huruf M =1 buah

                      jenis huruf   I =4 buah

Jenis huruf S =4 buah
jenis huruf P =2 buah
jadi banyaknya cara     adl =                   =34650

Contoh

Ada berapa macam cara agar 23 macam buku yang berbeda dapat diberikan pada 5 mahasiswa dengan aturan 2 mahasiswa memperoleh 4 buku dan 3 mahasiswa memperoleh 5 buku

Jawab

Ada dua langkah

Langkah pertama memilih 2 mahasiswa memperoleh 4 buku

Ada    5         =    5!        =10 cara    (rumus  2 sekat)

           2            2! (5-2)!  

Langkah kedua pendistribusian 23 buku dibagikan 5 mahasiswa, itu merupakan    permutasi berulang yaitu                    

                                                                                         cara    (rumus 5 sekat)

Jadi banyak cara pendistribusiannya adl

    10                             =    ......   macam cara

Aplikasi kombinatorika dalam ilmu Komputer

1. Pengenal (identifer) dalam Pascal

-harus dibuat(dideklarasikan) dulu sebelum identifer tsb dipakai

-identifer terdiri dari gabungan huruf, angka dan simbul-simbul husus

-karakter pertama harus huruf

-panjang identifer tentang kompiler yg dipakai

-identifer yang sudah dipakai oleh pascal sebagai kata kunci(reserved word) tdk boleh dipakai untuk keperluan lain seperti begin, end dll

Contoh

Misalkan dalam kompiler pascal, identifer tersusun dari 26 huruf,10 angka dan 3 simbul husus, panjang identifer yg diizinkan 8 karakter, jumlah kata kunci yang sudah dipakai 35, berapa identifer yg masih dapat digunakan?

Jawab

Panjang identifer maksimal 8 karakter

-Identifer dengan panjang 1 karakter =26  macam (karena pertama hrs huruf)

-Identifer dengan panjang 2 karakter= (26)(39) macam (karena karakter pertama harus huruf karakter kedua bisa berupa huruf,angka dan sibul husus)

-identifer dengan panjang 3 karakter=26(39)²

-identifer dengan panjang 4 karakter=26(39)(39)(39)=26(39)³

………………………………………………..

-identifer dengan panjang 8 karakter=26(39)(39)(39)(39)(39)(39)(39)=26(39)⁷

jadi jumlah identiber dengan panjang maksimal 8 adal = jumlah semua identifer dengan panjang 1 sampai 8 dijumlahkan yaitu

            26+26(39)+26(39)²+26(39)³………..+26(39)⁷

Karena sudah dipakai 35 identifer sebagai kata kunci seingga identifer yang dapat dipakai adalah; (26+26(39)+26(39)²+26(39)³………..+26(39)⁷-35) macam

Jumlah iterasi dalam suatu loop(kalang)

-kebanyakan program menggunakan kalang

-statemen dalam kalang inilah yang sering dieksekusi sehingga lama waktu eksekusi tgt dari banyaknya kalang-kalang dalam yang dieksekusi

contoh

Perhatikan kalang FOR dibawah ini , berapa kali statemen didalamnya dieksekusi?

a)      For     i = 1 to n do

       statemen – statemen dalam kalang. Tidak ada perintah di dalamnya yang menyebabkan eksekusi melompat keluar kalang.

        { end for - i}

Jawab

Misal x = statement dalam kalang, x tidak boleh keluar kalang sebelum kalang selesai dieksekusi

 x akan dieksekusi untuk i =1,2,3,….n; jadi dieksekusi sebanyak n kali

b)      For i = 1 to n Do

            For j = 1 to m Do

          Statemen – statemen dalam kalangan. Tidak ada perintah di dalamya yang menyebabkan eksekusi melompat keluar kalang.(jmlah=nilai+kuis)

          { End For – j }

{ End For – i}

Jawab

Eksekusi statemen dalam kalang dapat digambar sbb

i=1           j=1

                j=2

                j=3

               ….

                j=m (dan seterusnya untuk  i=2, ………i=n)

Ada tiap cabang keluar, statement selalu dieksekusi sekali menggunakan aturan perkalian, maka statement akan dieksekusi sebanyak mana kali

Contoh

Ada berapa banyak fungsi bool 3 variabel yg dapat dibuat, bila fungsi bool didefinisikan dg mengawankan masing-masing bil biner 3 digit 0 atau 1

Jawab

Salah satu nilai fungsi biner adl 10011000 jadi didapat 2⁸ cara

1. Segitiga Pascal

Salah satu persamaan dlm kombinatorika dan dapat diguna untuk menghitung kombinasi suatu suku berdasarkan kombinasi suku-suku yg lebih rendah

 identitas paskal dinyatakan dalam persamaan

                             =                  +  

                                                                                                                        =

Secara geometris dapat digambar sbb

    r 

n        0          1             2           3              4.........                   r-1             r

  0      1                    

  1      1           1

  2      1           2           1    

  3      1           3           3            1

  4      1           4           6            4              1

.....      .....       ....          ....           ...

  n                                                        ..........................

n+1                                           .................................

Ada beberapa sifat penting dalam segi tiga Pascal

a)     

n n

n 0

Kondisi batas

Nilai segitiga pascal dibagian ujung kiri kanan selalu = 1 karena,          =          = 1

b)      Kondisi sekunder

n n-1

n 1

Nilai segi tiga pascal pada baris ke n di kolom kedua dan kolom kedua sebelum terakhir selalu = n karena          =             = n

c)     

n k

n n-k

Simetris

n+r+1   n-1

n+r  r

n+2  1

n+1  0

Nilai pada setiap baris bersifat simetris karena           =

d)    

n r

n n

n 0

n 1

Jumlah diagonal :                +              ……. +               =

e)     

2n  n

Jumlah baris            +          ……. +          …….   +           = 2ⁿ

f)     

n 2

n 0

n 1

n n

n r

Kuadrat penjumlahan baris          ² +          ²  +          ²  …. +          …. +        ²  =

g)    

n+1 r+1

n r

r+1   r

r r

Jumlah kolom : dg bil positif n dan r, n ≥ r berlaku :           +             + ….          =

Menggunakan sifat-sifat koefisien binomial hitunglah

a.       1 + 2 + 3 + ……….. + n

b.      1² + 2² + …………. + n²

n+1 1+1

n 1

2 1

1 1

k 1

Jawab

a.       k =          maka 1+2+3 + ………+n =          +          + ….          =

n(n+1)!     2

(n+1)! 2!(n-1)!

n+1   2

                                                         =              =                    =

Catatan : ingat sifat penjumlahan kolom untuk r = 1

b.     

k 1

k 2

k 1

k 2

k² = k(k-1) + k      dalam hal ini r = 2

 2          +          maka 1² + 2² + ….. + n² = ∑   2          +

k 1

k 2

                                                                =  ∑ 2          + ∑

n(n+1) (2n+1)            6

n+1 1+1

n+1 2+1

                                                                =  2             +             =

n  r-1

n  r-2

n  r

n+2   r

Contoh n, r bil bulat positif  2 ≤ r ≤ n, nyatakan              dalam suku-suku

               ,             dan

n+1   r

n+1 r -1

n+2   r

Jawab

                 =                 +                                       ( identitas pascal )

n+2   r

n+2   r

n  r-2

n  r

n  r-1

n  r-1

n  r-2

                 =                +              +              +           =              + 2             +

Teorema Binomial dan Multinomial

n  k

n k=0

Misalkan x dan y adalah bilangan 2 riil dan n adalah bilangan bulat tak negative maka

(x + y)ⁿ = ∑            x^n-k y^k =           xⁿ +         x^n-1 y¹   +           x^n-2 y²  + …. +         yⁿ

Contoh

Uraikan pernyataan: a) (2x + 5y)³      b) (x – 4y)⁴

Soal

          Manakah yang lebih besar 101 atau 1,01¹⁰⁰⁰⁰

Teorema Multinomial

n! n1!n2!    nt!

Multinomial jumlah suku berbeda sebanyak t buah yaitu, dalam hal ini jika jumlahan suku t = 2 disebut binomial dengan demikian berbentuk

          (x₁ + x₂ + ….. + x_t )ⁿ = ∑                         x1ⁿ¹ . x2ⁿ² …. xt^nt, dimana n₁ + n₂ + … +n_t = n

n+t-1     n

n! n1!n2!.... nt!

 

Dan banyak suku (x₁ + x₂ + ….. + x_t )ⁿ adalah                sedangkan koefisien

Contoh

1. Hitunglah koefisien x1².x3.x4³.x5⁴ pada pernyataan (x1 + x2 + x3 + x4 + x5)¹⁰

2. Hitunglah koefisien dan banyak suku x³.y³.z² pada pernyataan (2x – 3y + 5z)⁸

10! 2!.0!.1!.3!.4!

Jawab

1. Koefisien adalah                          = 12600

2.

8! 8!.3!.2!

Koefisien adalah 2³.(-3)³.5².                 = -3024000

10!   8!.2!

(8+3-1)!    8!.2!

Dan banyak sukunya adalah                     =                  =                 = 45

Latihan

1.   Misalkan 2 dadu yg berbeda warna dilontarkan.Berapa macam cara untuk

      mendapatkan jumlah mata dadu genap?Bagaimana jika kedua dadu berwarna

      sama?

2.    Berapa banyak kode barang yg dapat dibuat menggunakan 1 atau 3 huruf yg diikuti

      oleh 4 buah angka?

3.    Suatu kemeja merk tertentu memiliki 12 warna pilihan,memiliki versi untuk pria dan

      wanita,serta 3 ukuran untuk tiap-tiap versi.Berapa banyak tipe kemeja yg dibuat?

4.    Berapa banyak nomor telepon yg bisa dibuat,jika nomor tersebut terdiri dari 7 digit,

      dua digit pertama antara 2 hingga 9,digit ketiga antara 1 hingga 9,dan digit sisanya

      bebas?

5.    Dalam suatu kelas akan dipilih seorang ketua,seorang bendahara,dan seorang

      sekretaris di antara 4 calon (A, B, C, D).Berapa banyak cara yg mungkin dilakukan?

6.    Suatu komite yg beranggotakan paling sedikit 5 orang akan dipilih dari 9 calon yg

      ada.Berapa macam komite yg dapat dibuat?

7.    Misalkan suatu departemen memiliki 10 staf pria dan wanita.Berapa banyak cara

      untuk membentuk komite yg beranggotakan 6 orang jika jumlah wanita dalam

      komite tersebut harus lebih banyak dari jumlah pria?

8. Sebuah ruang di kereta api memiliki 10 tempat duduk,5 di antaranya

    menghadap mesin,dan 5 lainnya membelakangi mesin.Dari 10

    penumpang,4 di antaranya senang duduk menghadap mesin,3

    senang duduk membelakangi mesin,dan 3orang biasanya duduk di

    mana saja.Dalam beberapa cara semua penumpang tersebut dapat

    duduk sesuai keinginannya?

9. Dalam suatu bahasa pemrograman,suatu identifier adalah barisan

    sejumlah karakter,di mana karakter pertama haruslah huruf dan

    sisanya haruslah huruf atau angka

       a. Berapa banyak identifier dengan panjang yg ada?

       b. Secara khusus,dalam implementasinya dalam bahasa Pascal,

           identifier adalah barisan 1 hingga 8 karakter dengan ketentuan

           di atas.Berapa banyak jumlah identifier dalam Pascal?

10. Misalkan bahwa plat nomor kendaraan terdiri dari 3 huruf dan

      diikuti dengan 3 angka.

         a. Berapa banyak plat nomor yang mungkin ada?

         b. Berapa banyak plat nomor yang di awali dengan A dan di akhiri     

             dengan 0?

         c. Berapa banyak plat nomor yang diawali dengan PDQ?

11. Di propinsi tertentu, plat nomor kendaraan yang bisa dibuat dari:

     a. 3 angka diikuti dengan 3 huruf atau 3 huruf diikuti 3 angka?

     b. 2 huruf diikuti dengan 4 angka atau 2 angka diikuti dengan 4 huruf?

     c. 3 huruf diikuti dengan 3 angka atau 4 huruf diikuti dengan 2 angka?

     d. 2 atau 3 huruf diikuti dengan 2 atau 3 angka?

12. Berapa banyak plat nomor kendaraan yang bisa dibuat dari 2 huruf dan diikuti

      dengan 4 angka?

13. Sebuah badan perwakilan mahasiswa (BPM) beranggotakan 15 mahasiswa.

      a. Dalam berapa cara sebuah komite yang terdiri dari 6 orang dapat dipilih dari

          anggota BPM tersebut?

      b. Dalam berapa cara sebuah komite yang terdiri dari 6 orang dapat dipilih dari

          anggota BPM tersebut jika ada dua orang anggota BPM kuliah di jurusan yang

          sama sehingga tidak diperbolehkan duduk bersama dalam sebuah komite?

      c. Misalkan anggota BPM terdiri dari 8 pria dan 7 wanita.

          - Berapa macam komite yang terdiri dari 3 pria dan 3 wanita dapat dibentuk?

          - Berapa macam komite yang beranggotakan 6 orang dapat di bentuk jika

            paling sedikit harus beranggotakan 1 wanita.

      d. Misalkan anggota BPM terdiri 3 mahasiswa tahun ke-1, 4 mahasiswa tahun

          tahun ke-2,3 mahasiswa tahun ke-3, dan 5 mahasiswa tahun ke-4.

           Berapa banyak komite dengan 8 anggota dapat di pilih sedemikian hingga

      setiap angkatan diwakili oleh 2 orang?

14. Sebuah tim pembuatan software beranggotakan 14 orang

      a. Berapa banyak cara dapat dilakukan untuk membentuk grup yang terdiri

          dari 7 orang?

      b. Misalkan 8 orang dalam tim tersebut adalah wanita dan 6 lainnya pria.

          - Berapa macam grup yang terdiri dari 3 pria dan 4 wanita dapat dibentuk?

          - Berapa macam grup yang beranggotakan 7 orang dan paling sedikit

            1 orang diantaranya pria dapat di bentuk?

          - Berapa macam grup yang beranggotakan 7 orang dan paling banyak

            3 orang wanita di antaranya dapat dibentuk?

15. Seorang mahasiswa harus menjawab 12 dari 15 pertanyaan dalam suatu ujian.

      Berapa banyak pilihan yang dimiliki mahasiswa tersebut.

      a. Seluruhnya?

      b. Jika ia harus menjawab 2 pertanyaan pertama?

      c. Jika ia harus menjawab pertanyaan pertama atau pertanyaan kedua, tetapi

          tidak keduanya.

      d. Jika ia harus menjawab 3 dari 5 pertanyaan pertama?

      e. Jika ia harus menjawab paling sedikit 3 dari 5 pertanyaan pertama?

16. Dalam berapa cara digit-digit  0,1,2,3,4,5,6,7,8, dan 9 disusun sehingga:

      a. Digit 0 dan 1 bersebelahan

      b. Digit 0 dan 1 bersebelahan dan dalam bentuk 01

      c. 0,1,2 dan 3 bersebelahan.

17. Suatu bilangan yang terdiri dari 4 digit akan di bentuk dengan hanya

      menggunakan digit 3,4,5,6, dan 7.

     a. Dengan berapa cara pembentukan dapat dilakukan?

     b. Dalam berapa cara bilangan pada (a) memiliki digit yang berulang?

     c. Dalam beberapa cara bilangan pada (a) lebih besar dari 5000?

     d. Dalam beberapa cara bilangan pada (a) genap?

18. Bilangan yang terdiri dari 4 digit akan di bentuk menggunakan digit-digit

      1,2,3,4,5,6,7,8 ( tanpa perulangan)

      a. Berapa banyak bilangan yang dapat di bentuk?

      b. Berapa banyak diantaranya bilangan yang kurang dari 4000?

      c. Berapa banyak di antaranya bilangan yang genap?

      d. Berapa banyak di antaranya bilangan yang ganjil?

      e. Berapa banyak di antaranya bilangan yang merupakan kelipatan dari 5?

       f. Berapa banyak di antaranya bilangan yang memiliki digit 3 dan digit 5?

19. Dalam himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, ...100}

         a. Berapa banyak bilangan genapnya?

         b. Berapa banyak bilangan ganjilnya?

         c. Berapa banyak cara untuk mengambil 2 bilangan dari himpunan tersebut

             sehingga jumlahnya genap?

         d. Berapa banyak cara untuk mengambil 2 bilangan dari himpunan tersebut

              sehingga jumlahnya ganjil?

20. Berapa banyak bilangan

         a. genap antara 1 hingga 1001?

         b. bulat antara 1 hingga 1001 yg habis dibagi 3?

         c. bulat 4 digit yg habis dibagi 5?

         d. bulat  digit yg merupakan kelipatan?

21. Anda diberi 8 buku berbahasa Inggris yg berbeda-beda,12 buku berbahasa

      Jerman yg berbeda,dan 5 buku berbahasa Rusia yg berbeda.Tentukan

       banyaknya cara untuk mengatur buku-buku tersebut dalam rak jika :

         a. semua buku dg bahasa sama harus dikelompokkan menjadi satu

         b. semua buku berbahasa Inggris harus terletak di sisi paling kiri

         c. semua buku berbahasa Inggris harus terletak di sisi paling kiri dan semua

             buku berbahasa Jerman harus terletak di sisi paling kanan.

22. Carilah banyaknya cara yg dapat dilakukan untuk mengatur tempat duduk 5

      pria dan 5 wanita dalam satu baris :

         a. tanpa syarat

         b. jika mereka harus duduk berselang-seling

         c. ulangi soal (b) jika pria A dan wanita B harus duduk bersebelahan

         d. ulangi soal (b) jika pria A dan wanita B tidak boleh duduk bersebelahan

23. 6 orang menonton bioskop bersama-sama

          a. berapa banyak cara yg dapat dilakukan untuk mengtur tempat duduk

              mereka dalam satu baris

          b. misalkan salah satu di antaranya harus duduk di ujung.berapa banyak

              cara yg dapat dilakukan untuk mengatur tempat duduk mereka dalam

              satu baris?

          c. misalkan keenam orang tersebut terdiri dari 3 pasang suami-istri.setiap

              pasangan ingin duduk bersebelahan,dg suami di kiri.berapa banyak

              cara yg dapat dilakukan untuk mengatur tempat duduk mereka dalam

              satu baris?

24. Dalam kata HULABALOO :

          a. berapa macam berbeda untuk mengatur huruf-hurufnya?

          b. berapa macam cara untuk mengatur huruf-hurufnya jika harus dimulai dengan huruf U dan berakhir dengan huruf L?

          c. berapa macam cara berbeda untuk mengatur huruf-hurufnya jika dalam pengaturan tersebut harus memuat huruf HU bersebelahan satu sama lain?

25. a. k³ = k(k-1)(k-2) + 3k² – 2k =   k   + 6   k   + 6    k

                                                           1          2             3      

      b. gunakan hasil (a) untuk menghitung 1³ + 2³ + ….. + n³

26. Carilah koefisien :

          a. x³ y⁷ dalam ekspresi (x + y)¹⁰

          b. x³ y⁷ dalam ekspansi (2x - 3y)¹⁰

          c.  x¹⁰⁰ y¹⁰¹ dalam ekspansi (2x + 5y)²⁰¹

             d. x⁵ y⁸ dalam ekspansi (x + y)¹³

27. Hitunglah menggunakan teorema binomial

          a. (2,01)⁷

          b. (0,9)⁵

28. Tentukan koefisien :

          a. x³ x² x² x³ dalam ekspansi (x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅)¹⁰

          b. x⁵ y¹⁰ z⁵ w⁵ dalam (x – 7y + 3z – w)¹⁰

          c. x⁵ dalam (a + bx + cx²)¹⁰

29. Perhatikan potongan algoritma berikut. Berapa kali statement di loop terdalam akan di iterasi jika program tersebut dijalankan?

·         For  i : = 1 to 4

       For j : = 1 to i

       (statement yang ada dalam tubuh loop. Tidak ada statement melompat keluar loop)

       Next j

Next j

·         For  i : = 1 to n (n adalah bil. Bulat)

       For j : = 1 to i

       (statement yang ada dalam tubuh loop. Tidak ada statement melompat keluar loop)

       Next j

Next i