MARI BELAJAR: MATEMATIKA (LOGIKA)

BAB 1 LOGIKA

PENDAHULUAN

· Logika adalah ilmu yang mempelajari tentang penalaran yang berhubumgan dengan pembuktian validitas suatu argumen.

· Argument yang berisi pernyataan-pernyataan harus dirubah menjadi bentuk logika untuk dapat dibuktikan validitasnya.

· Cara membuat ke bentuk logika, argument harus dirubah menjadi preposisi-preposisi selanjutnya preposisi dirubah menjadi variabel preposisi dengan huruf.

· Setiap variabel preposisi ditentukan nilainyadan dimanipulasi dengan cara tertentu untuk mendapatkan nilaikebenarannya.

· Contoh-contoh argument yang valid dan yang bisa dipakai adalah. Disjunctive Sillogism, Hypothecal Sillogism, Modus ponen, dan Modus Tollens.

· Argument : permis & kesimpulan, preposisi / pernyataan semua berbentuk kal.

· Preposisi dinotasikan dengan huruf abjad dan diberi nilai benar dan salah.

· Eksprersi terdiri dari notasi dan perangkai ini juga disebut logika

PREPOSISI

Kalimat yang benar atau salah, ttp tidak keduanya

· Preposisi atau kalimat dalam logika, preposisi bisa berupa

+ atom / kalimat sederhana

+ kalimat kompleks, komposisi kalimat menggunakan operator logika.

· Kalimat sederhana bisa berupa

+ symbol konstanta : true dan false

+ symbol variabel proposisi : p,q,r,p_1,q₁

· Literial adalah atom atau negasinya.

OPERATOR LOGIKA

(disusun berdasarkan hirarki)

Symbol	Arti (dibaca)	Bentuk
¬	Negasi / not / tidak	Tidak …
Λ	Konjungsi / and / dan	…. Dan ….
v	Disjungsi / or / atau	…. Atau …
→	Implikasi	Jika ….. maka ….
↔	Ekuivalensi / biimplikasi	…. Jika hanya jika …

· Definisi kalimat / preposisi

o setiap konstanta logika true dan false adalah proposisi

o variabel logika p,q,r,,p₁,q₁,…. Dalah proposisi

o jika a dan b adalah proposisi maka a Λ b

, a V b , a

b dan -a adalah proposisi.

MEMPRESENTASIKAN FAKTA

· proporsisi bisa mempresentasikan kalimat berita

· p : saya malas belajar

· q : saya lulus kuliah

· p Λ q : saya malas belajar dan lulus kuliah

· p

¬q : jika saya malas belajar maka saya tidak lulus kuliah

AMBIGUITY

· Ambigu : mempunyai banyak arti

· Contoh : p Λ q V r berarti p Λ(q V r) atau (p Λ q)V r

· Untuk menghilangkan ambiguity bisa menggunakan notasi kurung buka dan tutup yaitu (dan) atau prioritas/hirarki operator (precedence)

Table kebenaran

v Adalah table yang menunjukkan nilai kebenaran dan hasil kombinasi proposisi-proposisinya

v Secara umum jika ada n variabel proposisi , maka tabel kebenarannya ada 2ⁿbaris.

v Definisi masing-masing penghubung/operator sbb:

p	q	p	P Λ q	P V q	P q	P ↔ q
T	T	F	T	T	T	T
T	F	F	F	T	F	F
F	T	T	F	T	T	F
F	F	T	F	F	T	T

v Keterangan tabel lihat halaman berikut

Keterangan tabel

1) Negasi

Proposisi ¬p memiliki nilai kebenaran yang berlawanan dengan aslinya

Misal jika p bernilai F maka ¬p bernilai T

2) Konjungsi

Proposisi p Λ q (di baca p dan q ) adalah bernilai benar bila nilai p dan q keduanya bernilai benar, sedangkan kombinasi yang lain bernilai salah

3) Disjungsi

Proposisi p

q (dibaca p atau q ) adalah bernilai salah , bila nilai p dan q keduanya bernilai salah, sedangkan kombinasi yang lain bernilai benar

4) Implikasi

Proposisi p

q (dibaca :# jika p maka q,# q apabila p,# p hanya bila q,# p sarat cukup q, # q syarat perlu p )adalah bernilai salah bila p benar dan q salah, sedangkan kombinasi lainya bernilai benar

5) Biimplikasi

Proposisi p↔ q ( dibaca p bila hanya bila q ) yang berarti juga (p → q)Λ(q→p) adalah bernilai benar bila p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama ( keduanya bernilai benar atau keduanya bernilai salah )

Contoh

Misal ; p = budi orang kaya

Q=budi berduka cita

Tulislah bentuk simbul logika kalimat-kalimat berikut :

a) Budi orang yang miskin tetapi bersuka cita.

b) Budi orang kaya atau ia sedih.

c) Budi tidak kaya ataupun bersuka cita.

d) Budi orang yang miskin atau ia kaya tetapi sedih.

Jawab : a). ¬p Λ q b). pV¬q

c).¬p Λ¬ q d). ¬pV (pΛ¬ q)

contoh 2

diketahui kalimat-kalimat yang sudah dalam bentuk symbol logika berikut dibawah ini,buatlah kebenarannya:

a). ¬(¬pV¬q) b).¬(¬p ↔q)

c). (p→q)Λ¬(pVq) d).(¬pΛ(¬qΛr)) V (qΛ r ) V (p Λr)

jawab :

p	q	r	¬p	¬q	¬qΛr		qΛr	pΛr
T	T	T	F	F	F	F	T	T	T	F
T	T	F	F	F	F	F	F	F	F	F
T	F	T	F	T	T	F	F	T	T	F
T	F	F	F	T	F	F	F	F	F	F
F	T	T	T	F	F	F	T	F	T	F
F	T	F	T	F	F	F	F	F	F	F
F	F	T	T	T	T	T	F	F	T	T
F	F	F	T	T	F	F	F	F	F	F

Contoh 3

Pada kondisi bagaimanakah agar kalimat berikut ini benar?”tidaklah benar bila rumah kuno selalu bersalju ataupun angker,dan tidak juga benar bila sebuah hotel selalu hangat atau rumah kuno selalu rusak”

Jawab

Membuat variabel proporsisi misal p=

Selanjutnya didapat bentuk logika sbb (¬(pVq)) Λ¬(rVs)).

Untuk menyelidiki kondisi kombinasinya dimana seluruh kalimat bernilai benar,harus dibuat tabel kebenaran ……………

Dari tabel diatas terlihat bahwa

Tidaklah benar bila rumah kuno selalu bersalju atau angker, dan tidak juga benar bila sebuah hotel selalu hangat atau rumah kuno selalu rusak adalah bernilai benar bila rumah kuno tersebut tidak selalu bersalju,tidak selalu angker,tidak selalu rusak, dan hotelpun tidak selalu hangat

EKUIVALEN (p

q) atau p

Adalah bila hanya bila ruas kiri dan ruas kanan memiliki nilai kebenaran yang sama untuk semua kombinasi nilai kebenaran dari masing-masing kalimat penyusunnya (kalimat pada ruas kiri dan kalimat pada ruas kanan )

Contoh :

Tentukan apakah pasangan bentuk logika p → q dengan ¬p Vq ekuivalen

Jawab :

Buat tabel kebenaran kedua bentuk logika sbb :

p	q	P→ q	¬p	¬pVq

Oleh karena tiap-tiap baris nilai kebenaran sama, maka p→q

¬pVq

HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA

1). Hukum komunitatif ; p Λ q

q Λ p ; p V q

q V p

2). Hukum asosiatif ; pΛq )Λr

pΛ(qΛr); (pΛq)Λr

pΛ(qΛr)

3). Hk distributif; ; pΛ(q Vr)

(pΛq)V(pΛr); pV(qΛr)

(pΛq)V(pΛr);

4). Hk.identitas ; pΛT

p; pVF=p

5). Hk. Ikatan ; pΛF

p; pVT

6). Hk. Negasi ; (pΛ¬p)

F ; (pV ¬p)

T ;

7). Hk.Negasi ganda ¬ ( ¬p)

p ;

8). Hk. Idempoten ; (pΛp)

p; (pVp

9). Hk. Demogran ; ¬ ( pΛq)

pV ¬q, ¬(pVq)

¬pΛ¬q,

10). Hk.absorbsi ; pV (pΛq)

p pΛ(pVq)

11). Hk. Negasi T dan F ; ¬T

F ¬F

p ↔ q

( p → q )Λ ( q→p )

¬(p → q)

p Λ¬q

P → q

¬ p V q

Catatan :

Manfaat hokum-hukum diatas adalah dapat digunakan untuk menyederhanakan kalimat-kalimat yang komplek

Contoh :

Sederhanakan bentuk , ¬(¬p Λ q) Λ (p V q)

Jawab :

(¬ ¬ pV¬q)Λ( pVq ) ; berubah jadi ini karena hk demorgan

(pV¬q)Λ(pVq) ; berubah jadi ini karena hk negasi ganda

pV(¬qΛq) ; berubah jadi ini karena hk distributive

pVF ; berubah jadi ini karena hk

p ; berubah jadi ini karena hk

Untuk membuktikan ekuivalensi dengan cara : biasanya bentuk yang lebih komplek diturunkan ke yang lebih sederhana , jika sama - sama komplek sama – sama diturunkan dg hk yang berbeda jika terdapat penghubung

, dan

, penghubung tersebut harus dirubah dulu dalam bentuk penghubung , V, Λ,

dan ¬

contoh buktikan ekuivalensi berikut tanpa tabel kebenaran

a) ( q→p ) ↔ ( ¬ p→¬q)

Jawab

Ruas kanan tampaknya lebih komlpek, untuk itu yang disederhanakan ruas kanan

(¬p→¬q ) ↔ ¬ (¬p)V¬q (transformasi dari → ke V )

↔ pV¬q (negasi ganda )

↔ ¬qVp (komunikatif)

↔ q →p (transformasi dari V ke → )

Terbukti ruas kiri sama dengan ruas kanan yaitu (q→p) ↔ ( ¬p→¬q)

b) (p→(q→r))

((pΛq)→r)

Jawab

Ruas kiri ; (p→(q→r))

( ¬pV(q→r))

¬pV (¬qVr)

(¬ pV ¬q)Vr

¬( pΛq)Vr

(p Λ q)→r terbukti sama dengan ruas kanan

TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI

Tautologi adalah suatu kalimat yang selalu bernilai benar (T) , dan tak peduli nilai kebenaran kalimat penyusunnya.

Kontradiksi adalah suatu kalimat yang bernilai salah.

Misal diketahui implikasi adalah p→q maka :

Konversinya adalah q → p

Inversinya adalah ¬p→¬q

Kontraposisinya adalah ¬q →¬p

Catatan implikasi ikuivalensi dg kontraposisi jadi merupakan tautology

Contoh

Tentukan apakah kalimat dibawah

a) (pΛq)→q

b) q→(pVq)

tautologi atau kontradiksi dengan cara tabel kebenaran

jawab

a). dengan tabel kebenaran

P	Q	pΛq	(pΛq)→q

Oleh karena semua baris pada kolom ( pΛq)→q bernilai T maka (pΛq)→q adalah tautologi

P	Q	pVq	q→(pVq)

b).dengan tabel kebenaran

semua baris pada kolom q→(pVq) adalah T maka q→(pVq) merupakan tautologi

INFERENSI LOGIKA

Menentukan nilai kebenaran suatu kesimpulan berdasarkan sejumlahkalimat yang diketahui nilai kebenarannya

1).argumen valid : jika semua hipotesis / pernyataan benar dan kesimpulan juga benar.(kebenaran kesimpulan ini dikatakan turun dari hipotesis)

2).argumaen invalid : jika pernyataan benar dan kesimpulan salah

Cara menentukan argumen valid ada 2 cara yaitu dg tabel kebenaran metode inferensi

Langkah-langkah tabel kebenaran

- #tentukan hipotesis dan kesimpulan

- #buat tabel kebenaran (semua hipotesis juga kesimpulan)

- #carilah baris kritis yaitu baris yang semua hipotesisnya bernilai benar

- #perhatikan pada baris kritis jika semua nilai kesimpulan benar maka argumen valid, jika ada yang salah argumen tidak valid

Contoh tentukan apakah argument berikut

1) pV(qVr)…………… a)

¬ r …………… b)

Jadi pVr

Jawab

Ada 2 hipotesa pV(qVr) dan ¬ r, kesimpulan dengan tabel kebenaran sbb

Baris	p	q	r	qVr	pV(qVr)	¬r	pVr
1	T	T	T	T	T	F	T
2	T	T	F	T	T	T	T
3	T	F	T	T	T	F	T
4	T	F	F	F	T	T	T
5	F	T	T	T	T	F	T
6	F	T	F	T	T	T	F
7	F	F	T	T	T	F	F
8	F	F	F	F	F	T	F

Terlihat baris kritisnya pada baris 2,4,dan 6, pada baris tersebut kesimpulannya ada yang bernilai F. jadi argument tersebut adalah valid

P →(qV¬r)

q→qΛr)

p→ r

jawab :

perhatikan 2 hipotesa p →(qV¬r) dan q→(qΛr).sedang kesimpulannya p→r,dengan tabel kebenaran sbb

baris	p	q	r	¬r	qV¬r	pΛr	p→(qV¬r)	q→(qΛr)	p→r
	T	T	T	F	T	T	T	T	T
	T	T	F	T	T	F	T	F	F
	T	F	T	F	F	T	F	T	T
	T	F	F	T	T	F	T	T	F
	F	T	T	F	T	F	T	F	T
	F	T	F	T	T	F	T	F	T
	F	F	T	F	F	F	T	T	T
	F	F	F	T	T	F	T	T	T

METODE INFERENSI

Penurunan kesimpulanberdasarkan hipotesis yang ada

Dengan aturan – aturan sbb :

Modus ponen : p→q

Jadi q

Modus tollen : p →q

¬q

Jadi ¬p

Penambahan disjungtif p

Jadi pVq

Penyederhanaan konjungtif pΛq

Jadi p

Silogisme disjungtif pVq

¬p

Jadi q

Silogisme hipotesis

p→q

q→r

jadi p →r

dilemma :

pVq

p→r

q→r

jadi r

konjungsi p

jadi pΛq

contoh 1 tentang modus tollen

jika budi seorang manusia maka dia dapat mati

budi tidak dapat mati

jadi bukan seorang manusia

contoh 2 tentang silogisme hipotesis

jika 18486 habis dibagi 18 maka 18486 habis dibagi 9

jika 18486 habis dibagi 9 maka jumlah digitnya habis dibagi 9

jadi jika 18486 habis dibagi 18 maka jumlah digitnya habis dibagi 9

LATIHAN

1a. apakah jawabanmu ini sudah benar?

b. 4 adalah angka primap

c. pascal adalah bahasa pemrograman yang baik

2.buatlah tabel kebenaran ekspresi logika berikut

a. pV(¬pΛq)→q

b. (pV(¬pVq))Λ¬(qΛ¬r))

c. pΛ¬r↔qVr

3.nyatakan kalimat berikut dalam bentuk ekspresi logika

a. david sedang bermain di kolam atau ia ada dalam rumah

b. david sedang mendengarkan radio jika ia ada dalam rumah

c. david tidak bermain di kolam dan tidak sedang mengerjakan PR

4. sederhanakan logika berikut : (pΛq) V (pΛ¬q)

5. tentukan pakah pernyataan berikut ekuivalen

a. (pVq)Λ(¬pΛ(¬pΛq)) dengan ¬p Λq

b. ¬(pV¬q) V(¬pΛ¬q) dengan ¬p

6. tentukan manakah logika berikut merupakan tautology atau kontradiksi

a. (pΛq)V(¬pV(pΛ¬q)

b. ((¬pΛq)Λ(qΛr))Λ¬q

7. tulislah konvers, invers, dan kontraposisi kalimat berikut

a. jika bilangan rasional , maka angka desimalnya akan berulang

b. jika n adalah bilangan prima , maka n adalah bilangan ganjil atau n=2

c. jika p adalah bujursangkar , maka p adalah 4 persegi panjang

8. diketahui jika cairan X mendidih,maka temperaturnya paling sedikit 100⁰C,adalah benar manakah pernyataan berikut yang pasti benar

a. jika temperatur cairan X paling sedikit 100⁰C, maka cairan X akan mendidih

b. jika temperatur cairan X kurang dari 100⁰C, maka cairan X tidak akan mendidih

c. jika cairan X tidak mendidih, maka temperaturnya kurang dari 100⁰C

gunakan modus tollen atau modus ponen untuk mengisi soal 9-10

9. jika potongan program ini akan berulang dengan perintah while maka isi perulanagn tidak pernah dieksekusi

…………………………………………………………………………………

Jadi isi perulangan tidak pernah dieksekusi

10. jika logika adalah pelajaran yang muda maka pastilah saya seorang propesor

Saya bukan seorang propesor

Jadi …………………………………………………………………………………………………………………….

Beberapa inferen berikut ada yang valid juga ada yang tidak valid,untuk yang valid jelaskan aturan inferensi yang digunakan, jika tidak valid jelaskan kesalahan yang terjadi

11. bilangan riel ini merupakan bilangan rasional atau irrasional