MATEMATIKA (HIMPUNAN)

BAB 2  HIMPUNAN

Definisi :

1. Himpuan : Kumpulan obyek-obyek yang berbeda

2. Penyajian himpunan : mendaftar, simbul-simbul baku, notasi pembentuk himpunan(menulis syarat keanggotaan), dandiagram Venn.

contoh Nyatakan himp. Berikut dlm notasi himpunan

            A= himp. Bil. Riel lebih besar satu

            B= himp. Yg anggotanya adl. Kursi meja, TV, buku, air

3. Kardinalitas: jumlah anggota himpunan. Mis. Himp A notasi n(A) atau |A|

4. Himpunan Kosong: tdk memiliki elemen. Notasinya  { } atau Ø

5. Definisi Himpuan Bagian:

Himp A dikatakan himp bagian dari himp B, Jika hanya jikan Setiap elemen A merupakan elemen dari B (B superset dari A) notasi A⊆ B

Catatan, sembarang himp A maka A ⊆ A dan Ø ⊆ A

himp {Ø} bukan merupakan himp bag dari himp {{Ø}} karena masing masing himp mempunyai satu elemen yang berbeda

6. Himpuan yang sama: NOTASI:  A = B ↔ A ⊆ B dan B ⊆ A

7. Himpunan yang ekivalen Notasi: A~ B ↔ |A| = |B| yaitu kardinal dr kedua himp tsb sama (jumlah elemen sama)

8. Himp saling lepas: jika kedua himp. Tdk memiliki elemen yg sama Notasi: A // B

9. Himp Kuasa dari himp A adl Suatu himpunan  yang elemen elemennya merupakan himpunan bagian dari A, termasuk himp kosong dan himp A sendiri (ingat elemen elemennya berupa himpunan sebanyak 2ⁿ ) dengan  Notasi P(A)

Contoh misal A={teh, nasi} tentukan P(A)

Jawab   P(A)= { { }, {teh}, {nasi}, {teh,nasi} }

10.OPERASI HIMPUNAN:

IRISAN dari himp A dan B adl himp yg elemennya ada pada himp A dan himp B. notasinya A∩B={x|xєA Λ xєB}

GABUNGAN dr himp A dan himp B adl Himp yg elemennya merupakan himp A atau himp B.  Notasinya AUB={x|xєA V xєB}

KOMPLEMEN dr himp A terhadap himp semesta S adl himp yg elemennya merupakan himp semesta S tetapi bukan himp A. notasinya A’ = {x|xєU Λ x¢A}

SELISIH dari himp A dan himp B adalah himpunan yang elemennya merupakan elemen dari himp A dan bukan elemen himp B, dinotasikan A-B = AυB’

BEDA SETANGKUP dari himp B adalah himp yang elemennya merupakan elemen himp A atau elemen himp B tetapi tidak keduanya. Dinotasikan AӨB

PERKALIAN KARTESIAN dari himp A dan himp B adalah himp yang elemennya merupakan semua pasangan berurutan yang mungkin terbentuk dengan kompinen pertama dari himp A dan komponen kedua dari himp B

SIFAT-SIFAT OPERASI HIMPUNAN

1.        Hukum identitas yaitu AÈØ=Ø, dan AӨA= Ø

2.        Hukum nul yaitu AÇ Ø=Ø, dan AӨA= Ø

3.        Hukum komplemen yaitu AÈA’=U, AÇA’= Ø

4.        Hukum Idempoten yaitu AÈA=A, AÇ A=A

5.        Hukum ivolusi yaitu (A’)=A

6.        Hokum penyerapan yaitu AÈ (AÇB)=A, AÇ (AÈB)=A

7.        Hukum komulatif

8.        Hukum assosiatif

9.        Hukum distributive

10.    Hukum demorganyaitu (AÇB)’=

11.    Hukum 0/I Yaitu

PRINSIP DUALITAS

Misal S adl kesamaan yg terbentuk dari himpunan dan operasi, jika operasi-operasi tsb Ç diganti dengan È, È diganti  Ç, Æ diganti U, dan U diganti Æ, komplemen dan notasi himpunan yg ada ditetapkan seperti sebelumnya maka didapatkan kesamaan Q, maka Q disebut dual dari S.

Pembuktian Kalimat Himpunan diselesaikan dg cara : 1) tabel keanggotaan 2)sifat operasi, 3) definisi.

Contoh :

     Buktikan bahwa jika A sembarang himpunan , maka AÇÆ=Æ

Jawab :

Cukup dibuktikan bahwa AÇÆ tidak punya elemen, dg cara kontradiksi misalkan benar bahwa AÇÆ mempunyai elemen yaitu x. Berarti x ЄAÇÆ maka xЄA dan xЄÆ secara husus xЄÆ adalah tidak mungkin dengan kata lain AÇÆ mempunyai elemen adalah SALAH. Jadi terbukti bahwa bahwa AÇÆ tidak punya elemen

Latihan

Halaman 32-34(buku 1) dan 146-150(buku 2)

Contoh

1.    Tentukan apakah pernyataan berikut benar/salah? Jelaskan

a)    2 = {2}

b)   2 € {2}

2.    Misalkan S={x€Z | x=(-1)ⁿ, n adalah bilangan positip, Z adalah himp bil bulat} nyatakan himpunan S dengan cara mendaftar

3.    Misalkan A={c, d, f, g}, B={f, j}, dan C={d, g}. Tentukan apakah pernyataan berikut benar atau salah?

a)        B ⊆ A      b) C ⊆ C      c) C ⊆ C

4.    Tentukan apakah pernyataan berikut benar atau salah? Jelaskan

a)        1 € {{1}, 2}         b)   {3} € {1,2,{3}}         c)   {2} ⊆ {2,3,4}

5.    Diketahui A= {x € bil riil | 0<x≤2}

                     B = {x € bil riil |1≤x<4}

                     S = semesta pembicaraan bil riil

Tentukan a) AÇB       b) AÈB      c) A’ÇB’       d) A’ÈB’

6.    Misalkan A= {1,2}, B= {2,3}

Tentukan himpunan kuasa berikut a) P(AÇB)       b) P(AÇB)        c) P(AXB)

7.    Tentukan a) P(Ø)= ?

                     b) P(P(Ø))=

                     c) P(P(P(Ø)))=

8.    Buktikan bahwa a) AÇB ⊆ A

                           b) jika A⊆ B dan B ⊆ C maka A ⊆ C dengan cara definisi

9.    Buktikan bahwa (AÈB)-C = (A-C) È(A-B) dengan cara hukum-hukum